芯耀
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一、方差分析的引入
? 假设检验讨论了检验两个总体均值是否相等的问题，但对于多个总体的均值比较，如果仍用假设检验，就会变得非常复杂。
?方差分析(ANOVA：analysis of variance)能够解决多个均 值是否相等的检验问题。
?方差分析是要检验各个水平的均值是否相等， 采用的方法是比较各水 平的方差。
? 某汽车厂商要研究影响A品牌汽车销量的因素。该 品牌汽车有四种颜色，分别是黑色、红色、黄 色、银色，这四种颜色的配置、价格、款式等其 他可能影响销售量的因素全部相同。从市场容量 相仿的四个中等城市收集了一段时期内的销售数 据，见下表。
? 方差分析实际上是用来 辨别各水平间的差别是否 超出了水平内正常误差的程度 。
? 观察值之间的差异包括 系统性差异和随机性差异。
二、怎样得到F统计量
水平间(也称组间)方差和水平内(也称组内) 方差之比是一个统计量。实践证明这个统计 量遵从一个特定的分布，数理统计上把这个 分布称为F分布。即
三、F分布的特征
? 从F分布的式子看出，F分布的形状由分母和 分子两个变量的自由度确定，因此F分布有两个参数。
? F分布的曲线为偏态形式，它的尾端以横轴为 渐近线趋于无穷。
? 从上图可以看出，随着分子分母自由度的 增加，分布图逐渐趋向正态分布的钟型曲 线(但它的极限分布并不是正态分布),以前 接触过的t分布、χ 2分布的图像也有类似的 性质
四、方差分析的前提
? 不同组样本的方差应相等或至少很接近
五、单因素方差分析
? 例1：我们要研究一家有三个分支机构的公司 各分支机构的员工素质有无显著差异，已邀请专业的人力评测单位对每一分支机构的员工进行了评测，结果以百分制的分数给出， 每一机构抽取五位员工的结果如下表：
1. 检验方差是否一致
? 在方差分析之前，我们可利用Minitab对数据 作方差一致性检验Minitab能够读取的数据格式与上表给出的格式
不同，我们必须 把数据转化为Minitab能够理解的形式，具体做法是： 将所有变量值输入工作表的第一列，对因素进行编码，按照一定 的顺序编为1、2、3...，输入后面几列。
对本例：1） 先将素质测评的得分输入工作表列一；?2）三个分支分别编码为1、2、3，对应于变量值填入第二列；
2. 方差一致性检验
Stat→ANOVA→Test for Equal Variance
3. 给出假设
? 因素是方差分析研究的对象，在这个例子里，两个变量分别是分支机构位置和员工素 质测评分数，这里分支机构的位置就是一个 因素，因素中的内容就称为水平。该因素中 有三个水平，即机构的不同位置。学过假设检验的知识后，我们可以给出下面的假设：
4. 零假设为真
? 若零假设为真，则可以认为只有一个抽样分 布，此时三个样本均值比较接近。三个样本 均值的均值与方差可用于估计该抽样分布的 均值与方差。
? 总体均值的最优估计是三个样本均值的算术 平均数，而抽样分布的方差的估计可以由三个样本均值的方差给出，这个估计就是的组间估计。
5. 零假设为假
? 为了说明零假设为假时的情况，假定总体均值全不相同，由于三个样本分别来自不 同均值的总体，则样本均值不会很接近， 此时S2/X 将变大，使得 的组间估计 变大。
? 每个样本方差都给出sigma平方的一个估计，这 个估计只与每个样本内部方差有关，若 样本量相同，各个样本方差的算术平均 值就是组内方差的估计值。
6. 检验统计量
? 前面已经讨论过，当零假设为真时，Sigma平方的组间估计和组内估计应该很接近，即其比 值应接近于1。而当零假设不成立时，?Sigma平方的组间估计将偏大，从而两者的比值会大 于1，因此我们构造形如
的检验统计量，在一定的置信水平下，将 这个值和某个临界值作比较，就可以得出 接受还是拒绝零假设的结论。7. 深入理解F统计量? F统计量实际上是用来比较组间差异与组 内差异的大小，造成这种差别既有抽样的 随机性，也可能包含系统因素的影响。? 组间差异是用各组均值减去总均值的离差 的平方再乘以各组观察值的个数，最后加 总
? 组内差异则是各组内部观察值的离散程度
? 上述组间差异与组内差异必须消除自由度 不同的影响
? 对SSW，其自由度为n-g，因为对每一种水平，该水平下的自由度为观察值个数-1， 共有g个水平，因此拥有自由度个数为
? 对SSB，其自由度为g-1，g为水平的个数。
8. 检验方差假设
9. 检验步骤
10. 计算结果
11. 方差分析表
? 上面的计算结果可以很方便的用方差分析表来描述。下面是用Minitab软件得到的输出结 果，p值大于0.05,不能拒绝原假设.即认为三个分支机构员工素质评分无显著差异.
六、多因素方差分析
? 方差分析也可以同时分析两个或两个以上 的因素，这就是多因素方差分析。
? 有的实际问题需要我们同时考虑两个因素 对实验结果的影响，例如在例1中，除了关 心分支机构的差别外，我们还想了解不同薪酬水平是否和员工素质有关。
? 同时对这两个因素进行分析，就属于双因素方差分析，通过分析，我们可以知道究 竟哪一个因素在起作用，或者两个因素的 影响都不显著。
1. 不同配方的水泥硬化时间的分析例
2：特殊环境如水下、高温环境中，建筑材料对水泥的 硬化时间有严格的要求。现欲比较几种配方的水泥在不同 温度下的硬化时间，其他条件相同，试验结果如下表：
2. 方差一致性检验
3. 用Minitab作双因素方差分析
出现Two-way Analysis of Variance 对话框后：
4. 结果的进一步解释
? 我们将Minitab输出的方差分析表转换为下表 其中F临界值为手工加入。双因素方差分析: C2, C3
5. 多变量图分析还是以水泥硬化试验为例
6. 多变量图输出
?本例中，四种反应温度对应不同水泥配方的 反应时间差异较大，说明水泥反应温度与配 方有交互作用，与四种温度下最快的反应时 间对应的编号分别为：３，２，２，２．
?若要将因子间的交互作用和其他因子作用量 化，可以进一步采用方差分析或一般的线性 模式等方法．
七、ANOVA的Minitab实现： 单因数方差分析（One-Way）
八、均值分析(Analysis of Means)
?可用于测试各均值的互等性?Select :Stat-ANOVA-Analysis of Means
填入参数
结果输出
九、平衡数据方差分析 (Balanced ANOVA)
?Select :Stat-ANOVA- Balanced ANOVA
点击“Results”对话框,输入下图所示信息:
结果输出
十、通用线性模型 (General Linear Model)
?Select :Stat-ANOVA- General Linear Model
填入参数
十一、全嵌套数据方差分析 (Fully Nested ANOVA)
填入参数
结果输出
十一、平衡数据多响应变量方差分析 (Balanced MANOVA)
?Select :Stat-ANOVA- Balanced MANOVA
点击“Results”对话框,选中下图复选框:
结果输出
十二、通用多响应变量方差分析 (General MANOVA)
?Select :Stat-ANOVA- General MANOVA
填入参数
结果输出
本篇文章介绍了《方差分析》，下篇将介绍《相关与回归分析》，请大家持续关注。
